Luiz De Assis Netto

A Teoria da Relatividade de Albert Einstein consiste em dois postulados:

I - As leis da física devem ser as mesmas em todos os referenciais.

Na verdade, isto não é novo. O mesmo princípio já havia sido enunciado por Galileo Galilei 300 anos antes de Einstein. Mas as leis da física que Galileo conhecia, que incluiam algumas das leis da mecânica que ele mesmo havia descoberto (a mecânica clássica foi levada à maturidade por Sir Isaac Newton, que nasceu no mesmo ano em que Galileo morreu), não incluiam muito eletromagnetismo, e portanto Galileu não tinha como avaliar todas as conseqüências do princípio que ele tinha anunciado.

II - A velocidade da luz no vácuo é uma constante c, que é a mesma para todos os observadores, qualquer que seja o estado de movimento dos observadores ou da fonte.

Isto na verdade é um corolário do primeiro postulado, mas este enunciado tem uma longa história. Quando James Clerk Maxwell elaborou sua teoria eletromagnética da luz na metade do século XIX, ele concluiu que a velocidade da luz pode ser deduzida a partir de constantes puramente elétricas e magnéticas, que não dependem de um referencial, o que leva à conclusão inevitável de que a velocidade da luz também independe do referencial no qual ela é medida.

Luiz De Assis Netto's answer to Do you think c {the speed of light in a vacuum} is a random number, or is it a logical constant described by equations like pi or e?

(Prometo traduzir esta resposta mais tarde.)

Bem, isto parece um pouco estranho, não é verdade? Suponha que alguém está dirigindo um carro com a velocidade v e de repente acende os faróis dianteiros. Se a velocidade da luz dos faróis é c em relação ao motorista, então ela deve ser

v+c [1]

em relação a um observador parado na calçada, não é mesmo?

Quando nós dizemos isto, nós estamos fazendo uso da lei de Galileo da adição de velocidades. Suponhamos que você vá ao shopping center e pegue a escada rolante para ir ao andar de cima. A velocidade da escada rolante é v. Se você apenas fica de pé sobre um dos degraus da escada rolante, você é levado para cima com velocidade v. Mas se você está com pressa, o que você faz? Você corre para cima sobre os degraus da escada rolante com velocidade u, relativa aos degraus da escada rolante; assim sua velocidade para um observador que esteja parado no andar de cima vai ser u+v. Esta é a lei de Galileo. Mas de acordo com a teoria da relatividade, sua velocidade vai ser

[math]\dfrac{u+v}{1+\dfrac{uv}{c^2}}[/math] [2]

Mas isto é ridículo, você dirá! A diferença entre o valor dado pela fórmula [2] acima da teoria da relatividade e a fórmula de Galileo [1] é tão pequena que não pode ser medida na prática! Mas isso é porque a sua velocidade e a velocidade da escada rolante são tão ridiculamente pequenas comparadas com a velocidade da luz que o termo uv/[math]c^2[/math] é praticamente igual a zero. Nós logo ficaremos sabendo em que condições a fórmula [2] se torna relevante.

Suponhamos agora que você está parado sobre um dos degraus da escada rolante segurando uma lanterna acesa paralelamente à direção em que a escada está se movendo. De acordo com a fórmula [2], a velocidade da luz dessa lanterna para um observador parado em relação ao chão vai ser

[math]\dfrac{v+c}{1+\dfrac{cv}{c^2}} = \dfrac{v+c}{\dfrac{c^2+cv}{c^2}} =(v+c)\dfrac{c^2}{c^2+cv} = (v+c)\dfrac{c^2}{c(c+v)} = \dfrac{c^2}{c} = c[/math]

Vamos imaginar só de sacanagem que a escada rolante está se movendo com a velocidade da luz (ou muito próxima dela), e alguém está parado num dos degraus segurando uma lanterna acesa, mais uma vez na mesma direção do movimento da escada. Qual será a velocidade da luz dessa lanterna em relação a alguém parado no chão? Será 2c? Vamos ver:

[math]\dfrac{c+c}{1+\dfrac{c^2}{c^2}} = \dfrac{2c}{1+1} = \dfrac{2c}{2} = c[/math]

Portando, nós encontramos uma fórmula de adição de velocidades que é compatível com o princípio de relatividade.

SE isto é verdade, se a velocidade da luz é realmente a mesma para todos os observadores, então duas conseqüências se seguem imediatamente:

1- O tempo não pode mais ser o mesmo para todos os observadores. A idéia de tempo absoluto vai pras cucuias.

2- O comprimento de um objeto vai depender do referencial onde ele é medido.

Se você medir o comprimento de um carro quando ele está em repouso em relação a você, vamos chamar este comprimento de [math]L_0[/math]. Quando este carro estiver em movimento, o comprimento dele vai ser

[math]L = L_0 \sqrt{1-v^2/c^2}[/math]

Este efeito é chamado contração do comprimento.

Suponha que uma garota chamada Suzy está sentada num trem que está se movendo em direção à estação S onde seu namorado Bob está esperando por ela. Suzy está conversando com Bob no seu celular, e ela quer mostrar para ele o quão ansiosa ela está para vê-lo. Ela pressiona o telefone contra seu coração para que ele possa ouvir suas batidas cardíacas. O intervalo de tempo entre duas batidas sucessivas do coração de Suzy, para ela, é [math]t_0[/math], mas para Bob vai ser

[math]t = \dfrac{t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}[/math]

Este efeito é chamado dilatação do tempo.

Trens, carros, aviões, helicópteros, pássaros, cavalos, foguetes da NASA, todos eles se movem com velocidades desprezíveis comparadas com a velocidade da luz, portanto nós não notamos nenhum efeito relativístico na nossa vida diária. Quando a relatividade se torna relevante?

Em 1897, o físico britânico J. J. Thomson descobriu o elétron num tubinho como este:

Essa foi a primeira versão do tubo de raios catódicos que mais tarde se tornou popular como tubo de televisão, e também foi usado como monitor de computador até recentemente. Este aparelhinho também foi o primeiro acelerador de partículas. Numa engenhoca como essa, elétrons são acelerados até 30% da velocidade da luz. Nessa velocidade, efeitos relativísticos como dilatação do tempo e contração de comprimentos já são detectáveis.

Mais tarde, outras partículas elementares foram descobertas, e aceleradores maiores foram construidos, capazes de acelerar elétrons, prótons, pósitrons, anti-prótons e outras partículas a energias cada vez mais altas. Porque essas partículas têm massas ínfimas comparadas com carros, bicicletas ou trens, é relativamente fácil acelerá-las até velocidades superiores a 90% da velocidade da luz. Físicos que trabalham nas seguintes instituições:

CERN - Wikipedia

Fermilab - Wikipedia

Lawrence Berkeley National Laboratory - Wikipedia

observam efeitos relativísticos todos os dias. Alguns exemplos ilustrativos:

1- O polônio-212 é um núcleo de vida curta. Quando em repouso, ele habitualmente decai dentro de 431 nanosegundos ([math]= 431 \cdot 10^{-9}[/math] segundos) emitindo uma partícula alfa.

a) Quanto tempo ele levará para decair se estiver viajando a 80% da velocidade da luz?

Usando a fórmula da dilatação do tempo dada acima, descobrimos que ele decairá em 718 ns.

b) Que distância ele vai viajar até decair?

Usando a fórmula relativística, ele viajará 215.4 m.

2- Um nèutron é uma partícula instável. Quando isolado do núcleo atômico, ele se desintegra em média em 15 minutos num próton, um elétron e um neutrino.

a) Quanto tempo um nèutron levará para se desintegrar se estiver viajando a 50% da velocidade da luz?

b) Nèutrons são emitidos continuamente pelo Sol. Qual é a velocidade mínima (em média) com a qual um nêutron precisa sair do Sol para poder atingir a Terra antes de se desintegrar? A distância entre o Sol e a Terra é [math]1.5 \cdot 10^{11}[/math] m.

Respostas nos comentários.

3- Um núcleo radioativo está se movendo com velocidade 0.1 c com relação ao laboratório quando ele emite um elétron com velocidade 0.8 c com relação ao núcleo, na mesma direção em que o núcleo está se movento. Qual vai ser a velocidade do elétron em relação ao laboratório?

Como acelerar uma partícula até a velocidade da luz

Na mecânica clássica, tudo que você precisa fazer para acelerar uma partícula, inicialmente em repouso, até a velocidade da luz e ultrapassá-la é aplicar uma força constante por um tempo suficientemente longo. Não existe limite de velocidade na mecânica clássica.

Quando uma partícula carregada com carga q é colocada num campo elétrico com intensidade [math]\vec E[/math], ela sofre a ação de uma força [math]\vec F = q \vec E[/math] e, de acordo com a lei de Newton, [math]\vec F = m \vec a[/math] , temos [math]q \vec E = m \vec a[/math] e, supondo que o campo elétrico [math]\vec E[/math] é constante, a aceleração vai ser [math]a = \dfrac{qE}{m}[/math] (abandonando a notação vetorial agora, porque a aceleração vai ser na mesma direção da força), já que todos os termos do lado direito desta equação são constantes, a aceleração vai ser constante, e nós teremos [math]v = at = \dfrac{qE}{m} t[/math]

Assim sendo, tudo que temos que fazer, de acordo com a mecânica clássica, é abandonar a partícula carregada numa região do espaço, suposta infinita, onde há um campo elétrico constante, e a velocidade vai aumentar até c, 2c, 3c,… qualquer coisa que você quiser.

Mas não é isso que acontece. O gráfico abaixo mostra o que acontece quando uma partícula está sob a ação de uma força constante, como sua velocidade muda com o tempo. A linha reta à esquerda que cresce até o infinito mostra a previsão da mecânica clássica. A curva à direita mostra o que realmente acontece.

Quando v<<c, as previsões da mecânica clássica e da relatividade concordam aproximadamente, e ambas dão resultados experimentais muito próximos. Mas à medida que o tempo passa, a discrepância se torna maior. A linha horizontal v=c é uma assíntota da curva.

Em última análise, o resultado experimental concorda com a relatividade, não com a mecânica clássica.

De acordo com a mecânica clássica, a energia cinética de uma partícula é [math]E_k = \dfrac{1}{2} mv^2[/math] . A massa do elétron é [math]9.11 \cdot 10^{-31}[/math] kg. Que energia precisamos fornecer ao elétron, de acordo com a mecânica clássica, para acelerá-lo até 3 vezes a velocidade da luz? Resposta: 2.3 MeV (mega-eletronvolts).

Assim, de acordo com a mecânica clássica, se um elètron é acelerado a partir do repouso atravessando uma região do espaço na qual existe uma diferença de potencial de 2.3 milhões de volts entre o começo e o fim do trajeto, ele deveria sair do outro lado com três vezes a velocidade da luz!

Mas na verdade ele sai do outro lado com a velocidade de 0.9 c.

Mais uma vez, a relatividade consegue prever o que acontece no laboratório, enquanto a mecânica clássica falha.

A fórmula relativìstica para a energia cinética de uma partícula é

[math]E_k = mc^2 \left( \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1\right)[/math] [5]

Como todas as fórmulas relativísticas, ela fica reduzida à fórmula clássica quando v<<c. Isto é uma exigência necessária, pois a boa e velha mecânica clássica ainda faz um bom trabalho ao descrever o movimento de carros, aviões, navios, helicópteros, animais - qualquer coisa que se mova com v<<c. Nós só precisamos estar cientes das suas limitações e entender que a mecânica clássica é uma aproximação, não uma teoria completa da natureza. Portanto Galileo e Newton podem repousar em toda sua glória, sabendo que o mérito de sua obra é reconhecido pela posteridade.

Assim, se a massa de repouso de uma partícula é m, sua energia total quando ela está em movimento (sem incluir a energia potencial) é

[math]E = E_k + mc^2 = \dfrac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}[/math]

e, se a partícula está em repouso,

[math]E = mc^2[/math] [6]

Eis como a fórmula mais famosa da história da física é deduzida.

Mas a fórmula mais importante para ter em mente é

[math]E = \sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}[/math] [7]

que dá a energia total de uma partícula relativística, e que também fica reduzida a [math]E=mc^2[/math] quando p=0.

Uma outra conclusão interessante que nós tiramos da fórmula [7] é que, se a massa de repouso de uma partícula é m=0, a partícula nunca pode estar em repouso em nenhum sistema de referência, e sempre tem que se mover com velocidade c. Este é o caso do fóton.

Se você quer prova disso, considere que a expressão relativística para a quantidade de movimento é

[math]\vec p = \dfrac{m \vec v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}[/math] [8]

Combinando [8] e [5], nós obtemos que a velocidade de uma partícula relativística é dada por

[math]v = \dfrac{c^2p}{E}[/math] [9]

Fazendo m=0 em [7], nós obtemos

[math]E = pc \implies p = \dfrac{E}{c} \implies v = \dfrac{c^2E}{Ec} = c[/math]

Portanto v=c, portanto uma partícula sem massa precisa necessariamente se mover com velocidade c. Quando um fóton é criado, ele já está se movendo com a velocidade c, e ele só pode existir nessa velocidade. A idéia de um fóton em repouso é absurda e não faz nenhum sentido.

Portanto nós, que temos corpos massivos, nunca podemos nos mover com velocidade c, porque se o fizéssemos os fótons estariam em repouso em relação a nós, o que já provamos por reductio ad absurdum ser impossível.

Até aqui nós falamos da Relatividade Especial (RE). A RE lida com sistemas de referência inerciais (não acelerados). A Relatividade Geral (RG) lida com todos os referencias, acelerados e não acelerados. Ela usa uma matemática muito avançada (tensores), que eu não estudei ainda, e eu mentiria se dissesse que tenho dela uma profunda compreensão. Mas os princípios fundamentais não são tão difíceis de entender.

Eu nunca tive muita dificuldade com a RE, que eu acho uma das partes mais fáceis da física. Eu acho a mecânica quântica muito mais difícil, mais intrigante, um desafio muito maior do que a RE. Eu vejo muitas perguntas aqui no Quora que mostram as concepções mais distorcidas a respeito da RE. Algumas pessoas parecem ter uma estranha resistência psicológica à RE, porque ela exige que nós abandonemos as nossas idéias vulgares a respeito do espaço e do tempo. O que você sabe sobre o tempo? O que você sabe sobre o espaço? Eles não são menos intrigantes e misteriosos do que a própria matéria. Espero que esta minha modesta contribuição ajude a esclarecer alguma coisa.

É uma boa pergunta, e a resposta é que deveríamos parar de dizer "velocidade da luz" e chamá-la simplesmente "velocidade c" ou simplesmente "c".

A velocidade "c" é um limite universal. É também o fator de conversão entre massa e energia, represantado pela famosa equação de Einstein [math]E=mc^2[/math]. É a velocidade na qual viaja toda partícula com massa de repouso igual a zero (podemos chamá-la simplesmente "partícula sem massa" para efeito desta resposta) e todo efeito de campo [no vácuo].

Resulta que os fótons, que são as partículas fundamentais responsáveis pela radiação eletromagnética, são partículas sem massa, eis a razão por que viajam inevitavelmente com a velocidade "c". Da mesma forma, o campo gravitacional, ou ondas gravitacionais, dependem desse limite universal.

Então, por que se chama "velocidade da luz"?

A luz, diferentemente da gravidade, é um fenômeno visível que tem cativado as mentes científicas. Em épocas passadas da história se presumia que a luz era um fenômeno instantâneo. Naquela época, era desconhecida a sua natureza, bem como o fato de que não é instantânea mas tem uma velocidade. Considera-se Galileu como o primeiro cientista que tentou medir a velocidade da luz (se é que a luz tinha uma velocidade) em 1638, sem poder tirar nenhuma conclusão. Levou mais de dois séculos (1862) para que Léon Foucault conseguisse fazer uma medição suficientemente precisa dessa velocidade, com pequena margem de erro. Naqueles tempos, não se sabia nada nem de relatividade nem de ondas gravitacionais, nem do fato de que "c" é uma constante universal, simplesmente estavam tentando medir a velocidade da luz. Foi assim que ela recebeu esse nome. Ninguém imaginou naquela época que essa velocidade teria maiores implicações no nosso entendimento do universo.

Tradução feita por Luiz Netto do Quora em espanhol, Respuesta de Luis Medrano a Si la luz y la gravedad van a la misma velocidad, ¿por qué sólo se habla de la velocidad de la luz?

Pergunta interessante. Não existem ambientes sem gravidade, mas se você levasse uma bicicleta para a Lua, onde a gravidade é bem mais baixa que na Terra, ou para um asteróide de gravidade praticamente igual a zero, lá ela funcionaria da mesma maneira, já que o princípio de funcionamento da bicicleta é a conservação do momento angular. Todo corpo em rotação, como as rodas de uma bicicleta, tem uma grandeza associada a ele, chamada momento angular. Se as condições não mudam (ou seja, se uma força não é aplicada de uma certa maneira), o momento angular se conserva; isto quer dizer que o eixo de rotação (das rodas, no caso) se mantém na mesma direção, ou seja, paralelo à sua posição anterior. O funcionamento da bicicleta nada tem a ver com a gravidade.

Faça a seguinte experiência: tente se equilibrar sobre uma bicicleta parada. Você vai ver que é praticamente impossível, você tende a cair para a direita ou para a esquerda. No entanto, se as rodas estiverem girando, mesmo a baixa velocidade, você se equilibra facilmente, sem esfôrço algum. O eixo de rotação das rodas é horizontal, e tende a se manter horizontal enquanto ela está rodando. É nisto que consiste a conservação do momento angular.

Esclarecendo melhor, o momento angular de um corpo em rotação depende da velocidade de rotação (voltas por segundo) e do momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação, o qual depende por sua vez da massa, e de como essa massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma roda de bicicleta, o momento de inércia é [math]I=mR^2[/math], sendo [math]m[/math] a massa da roda da bicicleta, e [math]R[/math] o raio da roda. O momento angular é dado em módulo por [math]L=I\omega[/math], onde [math]\omega[/math] é a velocidade de rotação em radianos por segundo, igual ao número de voltas que ela dá num segundo multiplicado por [math]2\pi[/math]. O momento angular é um vetor paralelo ao eixo de rotação, cujo sentido é dado da seguinte forma: se você vê a roda girar no sentido anti-horário, ele aponta para você; se ela gira no sentido horário, ele aponta para o lado oposto.

A conservação do momento angular explica também por que a Terra continua girando em tôrno do próprio eixo, e este eixo mantém sempre um ângulo de [math]23^\circ[/math] com uma reta perpendicular ao plano de translação em torno do Sol.

O único problema seria que num asteróide com campo gravitacional muito fraco, você precisa tomar cuidado para não atingir a velocidade de escape, ou você vai embora do planeta e não volta mais.